整数全体の集合は体になる

みなさん、こんにちは。DOWNEY です。

今回は、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ が体になるというお話をし math。

なお、数学的には何の価値もない結果ですので、おそらくどの書籍にも書いてないと思います（笑）

簡単に説明すると、数学用語で体(たい)（field）とは四則演算＋, ー, ×, ÷ が可能な集合、環(かん)（ring）とは＋, ー, × が可能な集合のことです。はっきり言って名前の付け方が意味不明ですが、それは置いといて、ここでは整数 $\mathbb{Z}$ は体ではない環であるということを確認してください。

実際、（整数）＋（整数）＝（整数）, （整数）ー（整数）＝（整数）, （整数）×（整数）＝（整数）ですが（整数）÷（整数）＝（整数）ではないです。

では、 $\mathbb{Z}$ が体になるとはどういうことなのでしょうか。

実は、 $\mathbb{Z}$ の演算を通常の和と積とは違う形に定めなおすことで、割り算が可能にもなるんです。その定め方とは・・・ズバリ、有理数体 $\mathbb{Q}$ の和と積に対応させるのです！詳しく説明していきましょう。

$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Q}$ は一対一に対応付けることができます（ $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Q}$ の間に全単射が定まります）。この一対一の対応を $\varphi$ とおき、 $\mathbb{Z}$ に和 $\oplus$ と積 $\otimes$ を、 ${}^\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対し

　 $\begin{align} a \oplus b = \varphi^{-1}(\varphi(a) + \varphi(b)), a \otimes b = \varphi^{-1}(\varphi(a) \times \varphi(b)) \end{align}$

により定めると、 $\mathbb{Z}$ は体をなします。ちなみに、 $\oplus, \otimes$ は通常の和 + と積 × と区別するために用いただけで、直和・テンソル積とは一切関係ありません。

例えば、全単射 $\varphi$ が $\varphi(1) = \frac{1}{1}, \varphi(2) = \frac{2}{1}, \varphi(3) = \frac{1}{2}, \varphi(5) = \frac{3}{1}$ となるものの場合、 $\begin{align} 1 \oplus 2 = 5, 2 \otimes 3 = 1 \end{align}$ となります。このように定めた和と積により、整数 $\mathbb{Z}$ は四則演算が可能になる、つまり体になるんです！

まぁ、整数 $\mathbb{Z}$ を有理数 $\mathbb{Q}$ とみなしているだけなんですけどね。

今回は、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ がタイになるというお話でした。いかがでしたでしょうか。最後までお読みくださり、ありがとうございました。