2022-01-24

整数全体の集合は体になる

みなさん、こんにちは。DOWNEY です。

今回は、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ が体になるというお話をし math。

なお、数学的には何の価値もない結果ですので、おそらくどの書籍にも書いてないと思います（笑）

簡単に説明すると、数学用語で体(たい)（field）とは四則演算＋, ー, ×, ÷ が可能な集合、環(かん)（ring）とは＋, ー, × が可能な集合のことです。はっきり言って名前の付け方が意味不明ですが、それは置いといて、ここでは整数 $\mathbb{Z}$ は体ではない環であるということを確認してください。

実際、（整数）＋（整数）＝（整数）, （整数）ー（整数）＝（整数）, （整数）×（整数）＝（整数）ですが（整数）÷（整数）＝（整数）ではないです。

では、 $\mathbb{Z}$ が体になるとはどういうことなのでしょうか。

実は、 $\mathbb{Z}$ の演算を通常の和と積とは違う形に定めなおすことで、割り算が可能にもなるんです。その定め方とは・・・ズバリ、有理数体 $\mathbb{Q}$ の和と積に対応させるのです！詳しく説明していきましょう。

$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Q}$ は一対一に対応付けることができます（ $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Q}$ の間に全単射が定まります）。この一対一の対応を $\varphi$ とおき、 $\mathbb{Z}$ に和 $\oplus$ と積 $\otimes$ を、 ${}^\forall a, b \in \mathbb{Z}$ に対し

　 $\begin{align} a \oplus b = \varphi^{-1}(\varphi(a) + \varphi(b)), a \otimes b = \varphi^{-1}(\varphi(a) \times \varphi(b)) \end{align}$

により定めると、 $\mathbb{Z}$ は体をなします。ちなみに、 $\oplus, \otimes$ は通常の和 + と積 × と区別するために用いただけで、直和・テンソル積とは一切関係ありません。

例えば、全単射 $\varphi$ が $\varphi(1) = \frac{1}{1}, \varphi(2) = \frac{2}{1}, \varphi(3) = \frac{1}{2}, \varphi(5) = \frac{3}{1}$ となるものの場合、 $\begin{align} 1 \oplus 2 = 5, 2 \otimes 3 = 1 \end{align}$ となります。このように定めた和と積により、整数 $\mathbb{Z}$ は四則演算が可能になる、つまり体になるんです！

まぁ、整数 $\mathbb{Z}$ を有理数 $\mathbb{Q}$ とみなしているだけなんですけどね。

今回は、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ がタイになるというお話でした。いかがでしたでしょうか。最後までお読みくださり、ありがとうございました。

2022-01-22

数の分類

みなさん、こんにちは。DOWNEY です。

今回は数字についてちょこっと紹介し math。一般に、

$\mathbb{N}$ : 自然数全体の集合
$\mathbb{Z}$ : 整数全体の集合
$\mathbb{Q}$ : 有理数全体の集合
$\mathbb{R}$ : 実数全体の集合
$\mathbb{C}$ : 複素数全体の集合

と表します。

自然数（natural number）は、その名の通り自然界にある数で、ものの数を数えるために発明されました。おなじみの 1, 2, 3, ... ですね。ちなみに、 0 は物の数を数えるときには使わない（リンゴが 0 個ある、なんて言わないですよね）ので、自然数ではないとするのが一般的です。

整数（integer）は、自然数に 0 とマイナスの概念を加えたものです。具体的には ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ですね。ちなみに、整数全体の集合を表す記号 $\mathbb{Z}$ は、ドイツ語で「数」という意味の Zahlen という単語からとっているそうです。

有理数（rational number）は、 $\frac{\text{整数}}{\text{自然数}}$ で表される数ですね。有理数全体の集合を表す記号 $\mathbb{Q}$ は、英語で「商」（割り算した答え）を表す Quotient の頭文字みたいです。

実数（real number）は、有理数と無理数をひっくるめた数をいいます。無理数ってのは例えば $\sqrt{2}$ とか、円周率 π とか、ネイピア数 e とか。苦手な人も多いですよね。「無限に続く数とか意味わからん！そんなん数なん！？（怒）」っていうフレーズ、たまに耳にします。一言で説明すると、小数で表そうとすると無限になってしまうだけで無理数もれっきとした数です。こいつらが有理数の間をみっちり隙間なく埋めてくれているおかげで、実数全体を数直線で表すことができるんですよね。

複素数（complex number）は、実数と虚数（imaginary number）をひっくるめた数です。虚数もねぇ、難しいよねぇ。ここだけの話、私 DOWNEY も高校生のとき「2 乗してマイナスってなんだよ！そんな数無ぇよ！（怒）」と思ってました。 2 乗して負になる数が実数の世界にないからガウス先生は虚数単位 i を導入したんだよ、って若き日の DOWNEY に伝えたい。

今回は自然数から複素数までざざっと解説いたしました。最後までお読み下さり、ありがとうございました。